Question

如圖，在平面直角坐標系中，一拋物線的對稱軸為直線x=1，與y軸負半軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，其中B點的坐標為（3，0），C點坐標為（0，-3）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點G（2，-3）是該拋物線上一點，點E是直線AG下方的拋物線上一動點，當點E運動到什么位置時，△AEG的面積最大？求出此時E點的坐標和△AEG的最大面積；
（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點（其中點M在點N的右側），在x軸上是否存在點Q，使△MNQ為等腰直角三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的對稱軸方程及B點坐標，可求得A點坐標，再用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）可分別過E、G作x軸的垂線，設垂足為F、H；那么△AGE的面積=△AEF的面積+四邊形FHGE的面積-△AGH的面積，設出E點的坐標，即可表示出F點坐標及EF的長，根據上面所得出的面積計算方法，可得出關于△AGE的面積與E點橫坐標的函數關系式，根據所得函數的性質，即可求出△AGE的最大面積及對應的E點坐標；
（3）分兩種情況討論：
①以MN為斜邊，則Q點在MN的垂直平分線上，即Q點為拋物線對稱軸與x軸交點，由此可得出Q點坐標；
②以MN為直角邊；設出M、N的坐標，可表示出MN的長，由于△MNQ是等腰Rt△，則MN的長與M、N的縱坐標的絕對值相同，由此可求出M、N的坐標，也就求出了Q點的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線的對稱軸為x=1，且B（3，0），
∴A（-1，0）；
可設拋物線的解析式為：y=a（x-3）（x+1），則有：
（-3）×1×a=-3，a=1；
∴y=x²-2x-3（4分）

（2）當E運動到(

1

2

，-

15

4

)時有最大面積，最大面積是

27

8

，理由如下：
過E作EF⊥x軸于F，過G作GH⊥x軸于H；
設E（x₀，y₀），則F（x₀，0），EF=-（x₀²-2x₀-3）
因為G（2，-3）所以GH=3
S△AEF=

-(x0+1)

2

y0，S_△AGH=

AM•MH

2

=

9

2

S四邊形FHGE=

(MH+EF)HF

2

=

x0y0-3x0-2y0+6

2

所以S_△AGE=S△AEF+S四邊形FHGE-S△AGH=-

3

2

x02+

3

2

x0+3=-

3

2

(x0-

1

2

)2+

27

8

（6分）
當x0=

1

2

時，有最大值為

27

8

；（7分
將x0=

1

2

代入y=x²-2x-3，
得y0=-

15

4

；
所以E(

1

2

，-

15

4

)；（8分）

（3）存在，Q（1，0）或（±

5

，0）或（2±

5

，0）理由如下（9分）
因為MN平行與x軸，
所以M、N關于x=1對稱
①若NQ=QM，則Q必在MN的中垂線即對稱軸x=1上，所以Q（1，0）（10分）
②若QN=MN，則∠QMN=90°，設M（m₁，n₁）
則有：N（2-m₁，n₁），MN=m₁-（2-m₁）=2m₁-2
QN=|n₁|，
所以|n₁|=2m₁-2，其中n₁=m₁²-2m₁-3
同理若QM=MN，QM=|n₁|，n₁=m₁²-2m₁-3，
綜上可得|n₁|=2m₁-2
解得m1=

5

或-

5

或2+

5

或2-

5

；（12分）
∴Q₁（

5

，0），Q₂（-

5

，0），Q₃（2+

5

，0），Q₄（2-

5

，0）．
綜上所述，存在符合條件的Q點，
且坐標為：Q₁（

5

，0），Q₂（-

5

，0），Q₃（2+

5

，0），Q₄（2-

5

，0），Q₅（1，0）．

點評：此題考查了二次函數解析式的確定、圖形面積的求法、二次函數的應用、等腰直角三角形的判定和性質等知識，綜合性強，能力要求較高．考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．