Question

（2008•揚州）如圖，在△ABD和△ADE中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，連接BC、DE相交于點F，BC與AD相交于點G
（1）試判斷線段BC、DE的數量關系，并說明理由；
（2）如果∠ABC=∠CBD，那么線段FD是線段FG和FB的比例中項嗎？為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用SAS證明△ABC≌△ADE，得BC=DE．
（2）根據（1）里的全等關系，可證出△BFD∽△DFG，所以，即FD²=FG•FB．
解答：解：（1）BC、DE的數量關系是BC=DE．
理由如下：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，
又∵AB=AD，AC=AE，
∴△ABC≌△ADE．（SAS）
∴BC=DE．

（2）線段FD是線段FG和FB的比例中項．
理由如下：∵△ABC≌△ADE，∴∠ABC=∠ADE．
∵∠ABC=∠CBD，∴∠ADE=∠CBD，
又∵∠BFD=∠DFG，
∴△BFD∽△DFG．
∴∴FD²=FG•FB．
即線段FD是線段FG和FB的比例中項．
點評：本題利用了全等三角形的判定和性質，以及相似三角形的判定和性質．