Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm．AB=5cm，點P以1cm/s的速度從頂點C出發沿CA運動，同時點Q以同樣的速度從頂點A出發沿AB運動，伴隨點P、Q運動直線DE始終保持垂直平分線段PQ，點D為垂足，直線DE與BC交于點E．當點P到達頂點A時停止運動，點Q也隨之停止，問動點P、Q運動多長時間，四邊形QBED為直角梯形？

Answer 1

分析：四邊形QBED為直角梯形，分為∠PQB=90°和∠CPQ=90°兩種情況，得出三角形相似，利用相似比求t的值．

解答：解：設P、Q運動ts時，四邊形QBED為直角梯形，
①當∠PQB=90°時，得DE∥QB，
則四邊形QBED是直角梯形（如圖1），
此時△APQ∽△ABC，
則

AQ

AC

=

AP

AB

，即

t

3

=

3-t

5

，
解得t=

9

8

；

②當∠CPQ=90°時，得PQ∥BC，
則四邊形QBED是直角梯形（如圖2），

此時△APQ∽△ACB，
則

AQ

AB

=

AP

AC

，即

t

5

=

3-t

3

，
解得t=

15

8

．
綜上，當點P、Q運動

9

8

s或

15

8

s時，四邊形QBED是直角梯形．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，直角梯形的性質．關鍵是由直角梯形的直角的可能情況，利用平行線得相似三角形，分類求解．