Question

（2005•雙柏縣）如圖，AB是⊙O的直徑，過A作⊙O的切線，在切線上截取AC=AB，連接OC交⊙O于D，連接BD并延長交AC于E，⊙F是△ADE的外接圓，F在AE上．
求證：（1）CD是⊙F的切線；（2）CD=AE．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接DF，證DF⊥OC即可．
（2）可運用相似三角形和線段間的比例關系進行求解．
解答：證明：（1）連接DF，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
又∵FA=FD，
∴∠FAD=∠FDA．
∴∠BAC=∠FDO．
又∵AC為⊙O的切線，
∴∠BAC=90°．
∴∠FDO=90°．
即：CD⊥DF．
∴CD是⊙F的切線．

（2）∵DF⊥CD，
∴Rt△CDF∽Rt△CAO．
∴=．
又∵AC=AB=2OA，
∴==，CD=2DF．
∵AE=2DF，
∴CD=AE．
點評：本題主要考查了切線的性質與判斷，相似三角形的判斷和性質等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．