Question

17、已知⊙O₁和⊙O₂外切于A（如圖1），BC是它們的一條外公切線，B、C分別為切點，連接AB、AC，
（1）求證：AB⊥AC；
（2）將兩圓外公切線BC變?yōu)椤袿₁的切線，且為⊙O₂的割線BCD（如圖2），其它條件不變，猜想∠BAC+∠BAD的大小，并加以證明；
（3）將兩圓外切變?yōu)閮蓤A相交于A、D（如圖3），其它條件不變，猜想：∠BAC+∠BDC的大小？并加以證明．

Answer 1

分析：（1）首先過A作兩圓的內(nèi)公切線l，交BC于D．根據(jù)切線的性質(zhì)，證得△ABC為直角三角形．進而得到AB⊥AC．
（2）首先過點A作兩圓的內(nèi)公切線m，交BC于E，利用切線的性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和定理，可證得猜想結(jié)論．
（3）連接AD，由于BC是它們的一條外公切線，利用切線的性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和定理，即可證得猜想結(jié)論．

解答：（1）

證明：過A作兩圓的內(nèi)公切線l，交BC于D，則由切線的性質(zhì)知DB=DA=DC，
則三角形ABC為直角三角形．即AB⊥AC；（3分）
（2）

猜想：∠BAC+∠BAD=180°（4分）
證明：過點A作兩圓的內(nèi)公切線m，交BC于E，由切線的性質(zhì)得，
∠BAE=∠ABC，∠EAC=∠ADC
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=∠ABC+∠ADC（7分），
∴∠BAC+∠BAD=∠ABC+∠ADC+∠BAD=180°；（8分）
（3）

猜想：∠BAC+∠BDC=180°（9分），
證明：連接AD，由于BC是它們的一條外公切線，由切線的性質(zhì)得，
則∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠DBC+∠DCB（12分），
∴∠BAC+∠BDC=∠DBC+∠DCB+∠BDC=180°．（13分）．

點評：本題考查圓切線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理．解決本題的關(guān)鍵是巧妙添加輔助線，仔細分析本題，三個小題添加輔助線具有共性．