Question

（2003•常州）如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，連接AC，過點C作直線CD⊥AB于點D，E是AB上一點，直線CE與⊙O交于點F，連接AF，與直線CD交于點G．
求證：（1）∠ACD=∠F；（2）AC²=AG•AF．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題可構建相等的中間角通過轉換來求解，連接BC，根據圓周角定理得∠ABC=∠F，根據同角的余角相等得∠ACD=∠ABC，由此可得證．
（2）本題實際求的是三角形ACG和AFC相似，已知了一個公共角，而（1）中又證得了∠ACD=∠F，由此可得出兩三角形相似，根據相似三角形即可得出所求的比例關系．
解答：證明：（1）連接BC，則∠ACB=90°，∠ABC=∠F，
∵∠ACD+∠CAD=90°，∠CAD+∠ABC=90°，
∴∠ACD=∠ABC．
∴∠ACD=∠F．

（2）由（1）得出的∠ACD=∠F，
又∵∠CAG=∠FAC，
∴△ACG∽△AFC．
∴=．
∴AC²=AG•AF．
點評：本題主要考查了圓周角定理和相似三角形的判定和性質等知識點．通過構建與所求相關的相等角是解題的關鍵．