Question

28、如圖，已知∠AOB=120°，OM平分∠AOB，將等邊三角形的一個頂點P放在射線OM上，兩邊分別與OA、OB（或其所在直線）交于點C、D．
（1）如圖①，當三角形繞點P旋轉到PC⊥OA時，證明：PC=PD．
（2）如圖②，當三角形繞點P旋轉到PC與OA不垂直時，線段PC和PD相等嗎？請說明理由．
（3）如圖③，當三角形繞點P旋轉到PC與OA所在直線相交的位置時，線段PC和PD相等嗎？直接寫出你的結論，不需證明．

Answer 1

分析：（1）根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等直接回答；
（2）過P作OA、OB的垂線，構造圖①的圖形，利用（1）的結論證明PC、PD所在的三角形全等；
（3）仿（2）的證明可得PC=PD．

解答：
（1）證明：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，
∴PC=PD．（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）
（2）PC=PD．
過P點作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．
由（1）得 PM=PN．
∵∠AOB=120°，
∴∠MPN=360°-90°-90°=60°．
∴∠MPC=∠NPD=60°-∠CPN．
∴△PMC≌△PND．（ASA）
∴PC=PD．
（3）PC=PD．

點評：此題考查全等三角形的判定和性質，由易到難層層遞進，把握解題思路是關鍵．