Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點B（-2，0），A（m，0）（-＜m＜0），以AB為邊在x軸下方作正方形ABCD，點E是線段OD與正方形ABCD的外接圓除點D以外的另一個交點，連接BE與AD相交于點F．
（1）求證：BF=DO；
（2）設直線l是△BDO的邊BO的垂直平分線，且與BE相交于點G．若G是△BDO的外心，試求經過B、F、O三點的拋物線的解析表達式；
（3）在（2）的條件下，在拋物線上是否存在點P，使該點關于直線BE的對稱點在x軸上？若存在，求出所有這樣的點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題可通過全等三角形來證簡單的線段相等，三角形ABF和ADO中，根據圓周角定理可得出∠ABF=∠ADO，已知了一組直角和AB=AD，因此兩三角形全等，即可得出BF=OD的結論．
（2）如果G是三角形BDO的外心，根據三角形外心定義可知BE必垂直平分OD，因此三角形BOD是等腰三角形．在等腰直角三角形ABD中，BD=BO=2，AB=OB-OA=2+m，因此可根據AB、BD的比例關系求出m的值，即可得出OA的長，而在（1）得出的全等三角形中，可得出OA=FG，據此可求出F點坐標．已知了B、F、O三點坐標，可用待定系數法求出拋物線的解析式．
（3）在（2）中已經證得BE是∠OBD的角平分線，因此P點必為直線BD與拋物線的交點，先求出直線BD的解析式，然后聯立拋物線的解析式可得出P點坐標．
解答：（1）證明：在△ABF和△ADO中，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAF=∠DAO=90°．
又∵∠ABF=∠ADO，
∴△ABF≌△ADO，
∴BF=DO．

（2）解：由（1），有△ABF≌△ADO，
∵AO=AF=m．
∴點F（m，m）．
∵G是△BDO的外心，
∴點G在DO的垂直平分線上．
∴點B也在DO的垂直平分線上．
∴△DBO為等腰三角形，
∵AB=AD，
在Rt△BAD中，由勾股定理得：BO=BD=AB．
而|BO|=2，|AB|=|-2-m|=2+m，
∴2=（2+m），
∴m=2-2．
∴F（2-2，2-2）．
設經過B，F，O三點的拋物線的解析表達式為y=ax²+bx+c（a≠0）．
∵拋物線過點O（0，0），
∴c=0．
∴y=ax²+bx． ①
把點B（-2，0），點F（2-2，2-2）的坐標代入①中，
得
即
解得
∴拋物線的解析表達式為y=x²+x．②

（3）解：假定在拋物線上存在一點P，使點P關于直線BE的對稱點P'在x軸上．
∵BE是∠OBD的平分線，
∴x軸上的點P'關于直線BE的對稱點P必在直線BD上，
即點P是拋物線與直線BD的交點．
設直線BD的解析表達式為y=kx+b，并設直線BD與y軸交于點Q，則由△BOQ是等腰直角三角形．
∴|OQ|=|OB|．
∴Q（0，-2）．
把點B（-2，0），點Q（0，-2）代入y=kx+b中，
得
∴
∴直線BD的解析表達式為y=-x-2．
設點P（x，y），則有y=-x-2． ③
把③代入②，得x²+x=-x-2，
∴x²+（+1）x+2=0，
即x²+2（+1）x+4=0．
∴（x+2）（x+2）=0．
解得x=-2或x=-2．
當x=-2時，y=-x-2=2-2=0；
當x=-2時，y=-x-2=2-2．
∴在拋物線上存在點P₁（-2，0），P₂（-2，2-2），它們關于直線BE的對稱點都在x軸上．
點評：本題有一定的難度，綜合性也比較強，有一定的新意，第3小問有些難度，有一定的能力要求，解這種題時需冷靜地分析題意，找到切入點不會很難．