Question

在邊長為2的正方形ABCD內求一點P，使得PA+PB+PC之和為最小，并求這個最小值及此時PA、PB、PC的大小．

Answer 1

【答案】分析：順時針旋轉△BPC60°，可得△PBE為等邊三角形，若PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一條直線上，求出AF的值即可．
解答：解：順時針旋轉△BPC60度，可得△PBE為等邊三角形．
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一條直線上，
即如圖：可得最小PA+PB+PC=AF．
則由余弦定理，得
AF²=AB²+BF²-2AB•BFcos∠ABF
=AB²+BC²-2AB•BCcos∠150°
=2²+2²+2×2×2×
=8+4，
∴AF==，即PA+PB+PC的最小值是+；
此時，PC=PA=，PB=+-=-．
點評：本題主要考查軸對稱-路線最短問題，正弦定理與余弦定理．解答本題的關鍵是熟練掌握旋轉的知識．