Question

【題目】如圖（1），在□ABCD中，P是CD邊上的一點，AP與BP分別平分∠DAB和∠CBA。

【1】判斷△APB是什么三角形？證明你的結論；

【2】比較DP與PC的大小；

【3】如圖（2）以AB為直徑作半圓O，交AD于點E，連結BE與AP交于點F，若AD=5cm，AP=8cm，求證△AEF∽△APB，并求tan∠AFE的值。

Answer 1

【答案】

【1】 △APB是直角三角形，理由如下：

∵在□ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAB +∠ABC = 180°；

又∵AP與BP分別平分∠DAB和∠CBA，

∴∠PAB =，∠PBA =，

∴∠PAB+∠PBA=，

∴△APB是直角三角形；

【2】 ∵DC∥AB，

∴∠BAP =∠DPA．

∵∠DAP =∠PAB，

∴∠DAP =∠DPA，

∴DA = DP

同理證得CP=CB．

∴DP = PC

【3】 ∵AB是⊙O直徑，

∴∠AEB = 90°．

又（1）易知∠APB = 90°．

∴∠AEB =∠APB，

∵AP為角平分線，即∠EAF=∠PAB，

∴△AEF∽△APB，

由（2）可知DP =" PC" = AD，

∴ AB =" DC" =" 2AD" = 10cm，

在Rt△PAB中，（cm）

又△AEF∽△APB，

得∠AFE=∠ABP，

∴tan∠AFE = tan∠ABP=。

【解析】

【1】可通過角的度數來判斷三角形APB的形狀．由于ABCD是平行四邊形，AD∥BC，那么同旁內角∠DAB和∠CBA的和應該是180°，AP，BE平分∠DAB，∠ABP，于是∠PAB和∠ABP的和就應該是90°，即∠APB=90°，因此可得出三角形APB的形狀．

【2】可通過平行和角平分線，通過等角對等邊得出DP=AP，同理可證出PC=BC，根據平行四邊形的性質，AD=BC，可得出DP=PC．

【3】利用兩個角相等求出△AEF∽△APB，然后利用（2）求出PB的長度，在根據∠AFE=∠ABP，然后求出tan∠AFE的值.