Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線y= x+1與x軸交于點A，且與雙曲線y= 的一個交點為B（ ，m）．
（1）求點A的坐標和雙曲線y= 的表達式；
（2）若BC∥y軸，且點C到直線y= x+1的距離為2，求點C的縱坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：令y=0，則有0= x+1，解得x=﹣ ，

即點A的坐標為（﹣ ，0）．

令x= ，則m= +1=3，

即點B的坐標為（ ，3）．

將點B（ ，3）代入到雙曲線y= 中得3= ，

解得k=8，

∴雙曲線的表達式為y= ．

（2）解：依照題意畫出圖形，令直線y= x+1與y軸的交點為D，過點C作CE⊥直線y= x+1于點E，如圖所示．

∵BC∥y軸且點B的坐標為（ ，3），

∴直線BC的表達式為x= ，

設點C的坐標為（ ，n）．

令y= x+1中x=0，則y=1，

∴點D（0，1），

∴AD= = ，OA= ．

∵BC∥y軸，

∴∠CBE=∠ADO，

∵∠CEB=∠AOD=90°，

∴△BEC∽△DOA，

∴ ．

∵CE=2，BC=|n﹣3|，

∴ ，

解得：n= 或n= ．

故點C的縱坐標為 或 ．

【解析】（1）令直線y= x+1中y=0，解關于x的一元一次方程即可得出A點的坐標，由點B在直線y= x+1上，可求出m的值，再將點B坐標代入雙曲線y= 中，解關于k的一元一次方程即可求出雙曲線y= 的表達式；（2）令直線y= x+1與y軸的交點為D，過點C作CE⊥直線y= x+1于點E，由BC∥y軸結合B點坐標即可找出直線BC的函數表達式，設C點的坐標為（ ，n），由平行線的性質可得出∠CBE=∠ADO，結合∠CEB=∠AOD=90°即可得出△BEC∽△DOA，根據相似三角形的性質可得出 ，由此即可得出關于n的函數絕對值符號的一元一次方程，解方程即可得出n值．