Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線l：y=-2x+b分別與x軸，y軸相交于A，B兩點，且點A為（-4，0），點P（0，k）是y軸的負半軸上的一個動點，以P為圓心，3為半徑作⊙P．
（1）填空：b=

 

．
（2）連接PA，若PA=PB，試判斷⊙P與x軸的位置關系，并說明理由；
（3）若⊙P與直線l有兩個交點，交點為C、D，當k為何值時，以C、D、P為頂點的三角形是正三角形？
．

Answer 1

分析：（1）把A的坐標代入一次函數的解析式求出即可；
（2）根據PA=PB和勾股定理得到方程4²+k²=（8-k）²，求出即可；
（3）過P作PE⊥CD于E，根據勾股定理和等腰三角形的性質求出PE，證△BEP∽△BOA，得到比例式，代入求出即可．

解答：（1）解：把A（-4，0）代入y=-2x+b得：0=8+b，
∴b=-8，
故答案為：-8．

（2）答：⊙P與x軸的位置關系是相切．
理由是：∵OA=4，OP=-k，PA=PB，
由勾股定理得：4²+（-k）²=（8+k）²，
解得：k=-3，
∴OP=-k=3，
∵⊙P的圓心P到x軸的距離OP等于⊙P的半徑3，
∴⊙P與x軸相切；

（3）解：若P在B的上方，過P作PE⊥CD于E，

∵正△PCD，PC=PD=DC=3，
∴DE=EC=

3

2

，
在△PDE中，由勾股定理得：PE=

3 3

2

，
在△AOB中，由勾股定理得：AB=

OA2+OB2

=4

5

，
∵∠PEB=∠AOB=90°，∠ABO=∠ABO，
∴△BEP∽△BOA，
∴

PE

OA

=

PB

AB

，
∴

3 3 2

4

=

k+8

4 5

，
解得：k=

3

2

15

-8；
若P在B的下方，
∵正△PCD，PC=PD=DC=3，
∴DE=EC=

3

2

，
在△PDE中，由勾股定理得：PE=

3 3

2

，
在△AOB中，由勾股定理得：AB=

OA2+OB2

=4

5

，
∵∠PEB=∠AOB=90°，∠ABO=∠ABO，
∴△BEP∽△BOA，
∴

PE

OA

=

PB

AB

，
∴

3 3 2

4

=

-8-k

4 5

，
解得：k=

-16-3 15

2

，


答：當k為

3

2

15

-8或

-16-3 15

2

時，以C、D、P為頂點的三角形是正三角形．

點評：本題主要考查對等腰三角形的性質，勾股定理，相似三角形的性質和判定，解一元一次方程，一次函數圖象上的點的坐標特征，等邊三角形的性質等知識點的連接和掌握，能綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．