Question

我們常見的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物線面，經過鍋心和蓋心的縱斷面是兩端拋物線組合而成的封閉圖形，不妨簡稱為“鍋線”，鍋口直徑為6dm，鍋深3dm，鍋蓋高1dm（鍋口直徑與鍋蓋直徑視為相同），建立直接坐標系如圖①所示，如果把鍋縱斷面的拋物線的記為C1，把鍋蓋縱斷面的拋物線記為C₂。
（1）求C₁和C₂的解析式；
（2）如圖②，過點B作直線BE：y=x﹣1交C₁于點E（﹣2，﹣），連接OE、BC，在x軸上求一點P，使以點P、B、C為頂點的△PBC與△BOE相似，求出P點的坐標；
（3）如果（2）中的直線BE保持不變，拋物線C₁或C₂上是否存在一點Q，使得△EBQ的面積最大？若存在，求出Q的坐標和△EBQ面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由于拋物線C1、C2都過點A（﹣3，0）、B（3，0）， 可設它們的解析式為：y=a（x﹣3）（x+3）； 拋物線C1還經過D（0，﹣3）， 則有：﹣3=a（0﹣3）（0+3），a= 即：拋物線C1：y=x2﹣3（﹣3≤x≤3）； 拋物線C2還經過A（0，1），則有：1=a（0﹣3）（0+3），a=﹣ 即：拋物線C2：y=﹣x2+1（﹣3≤x≤3）； （2）由于直線BE：y=x﹣1必過（0，﹣1）， 所以∠CBO=∠EBO（tan∠CBO=tan∠EBO=）； 由E點坐標可知：tan∠AOE≠，即∠AOE≠∠CBO， 所以它們的補角∠EOB≠∠CBx； 若以點P、B、C為頂點的△PBC與△BOE相似，只需考慮兩種情況： ①∠CBP1=∠EBO，且OB：BE=BP1：BC， 即：3：=BP1：，得：BP1=，OP1=OB﹣BP1=； ∴P1（，0）； ②∠P2BC=∠EBO，且BC：BP2=OB：BE， 即：：BP2=3：，得：BP2=，OP2=BP2﹣OB=； ∴P2（﹣，0）， 綜上，符合條件的P點有：P1（，0）、P2（﹣，0）； （3）如圖，作直線l∥直線BE，設直線l：y=x+b； ①當直線l與拋物線C1只有一個交點時：x+b=x2﹣3， 即：x2﹣x﹣（3b+9）=0 ∴該交點Q2（，﹣）； Q2到直線 BE：x﹣y﹣1=0 的距離：==； ②當直線l與拋物線C2只有一個交點時：x+b=﹣x2+1， 即：x2+3x+9b﹣9=0 ∴該交點Q1（﹣，）； Q1到直線 BE：x﹣y﹣1=0 的距離：=； ∴符合條件的Q點為Q1（﹣，）； △EBQ的最大面積：Smax=×BE×=。