Question

（2002•大連）如圖，在⊙O中，AB為⊙O的弦，C、D是直線AB上兩點，且AC=BD，
求證：△OCD為等腰三角形．

Answer 1

【答案】分析：此題解法較多，下面以揀兩種常用的解法進行說明：
①連接OA、OB，由于OA、OB都是⊙O的半徑，則OA=OB，且∠OAC=∠OBD，進而可得∠OAC=∠OBD，然后通過證△OAC≌△OBD得到OC=OD，即△OCD是等腰三角形的結論．
②過O作AB垂線，設垂足為M，由垂徑定理可得AM=BM，已知AC=BD，那么CM=DM，即OM垂直平分線段CD，由此證得OC=OD，即△OCD為等腰三角形．
解答：證明：（證法一）過點O點作OM⊥AB，垂足為M；
∵OM⊥AB，∴AM=BM，
∵AC=BD，∴CM=DM，
又∵OM⊥AB，∴OC=OD，
∴△OCD為等腰三角形．

（證法二）連接OA，OB；
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，
∴△CBO≌△DAO，
∴OC=OD，
∴△OCD為等腰三角形；

（證法三）（以上同證法二）
∴∠CAO=∠DBO，
又∵AC=BD，
∴△CAO≌△DBO，
∴△OCD為等腰三角形．
點評：此題主要考查了垂徑定理、全等三角形的判定和性質以及等腰三角形的判定等知識，難度不大．