Question

已知：在△ABC中AB=AC，點D為BC邊的中點，點F是AB邊上一點，點E在線段DF的延長線上，∠BAE=∠BDF，點M在線段DF上，∠ABE=∠DBM．
（1）如圖1，當∠ABC=45°時，求證：AE=

2

MD；
（2）如圖2，當∠ABC=60°時，則線段AE、MD之間的數(shù)量關(guān)系為：

 

．
（3）在（2）的條件下延長BM到P，使MP=BM，連接CP，若AB=7，AE=2

7

，求tan∠ACP的值．

Answer 1

分析：（1）由題意知∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM故有△ABE∽△DBM?AE：DM=AB：BD，而∠ABC=45°?AB=

2

BD，則有AE=

2

MD；
（2）由于cos60°=

1

2

，類似（1）可得到AE=2MD；
（3）由于△ABE∽△DBM，相似比為2，故有EB=2BM，由題意知得△BEP為等邊三角形，有EM⊥BP，∠BMD=∠AEB=90°，在Rt△AEB中求得AE、AB、tan∠EAB的值，由D為BC中點，M為BP中點，得DM∥PC．
求得tan∠PCB的值，在Rt△ABD和Rt△NDC中，由三角函數(shù)的概念求得AD、ND的值，進而求得tan∠ACP的值．

解答：（1）證明：如圖1，連接AD．
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
又∵∠ABC=45°，
∴BD=AB•cos∠ABC即AB=

2

BD．
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM．
∴

AE

DM

=

AB

DB

=

2

，
∴AE=

2

MD．

（2）解：∵cos60°=

1

2

，
∴MD=AE•cos∠ABC=AE•

1

2

，即AE=2MD．
∴AE=2MD；

（3）解：如圖2，連接AD，EP．
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形．
又∵D為BC的中點，
∴AD⊥BC，∠DAC=30°，BD=DC=

1

2

AB．
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM．
∴

BE

BM

=

AB

DB

=2，
∠AEB=∠DMB．
∴EB=2BM．
又∵BM=MP，
∴EB=BP．
∵∠EBM=∠ABC=60°，
∴△BEP為等邊三角形，
∴EM⊥BP，
∴∠BMD=90°，
∴∠AEB=90°．
在Rt△AEB中，AE=2

7

，AB=7，
∴BE=

AB2-AE2

=

21

．
∴tan∠EAB=

3

2

．
∵D為BC中點，M為BP中點，
∴DM∥PC．
∴∠MDB=∠PCB，
∴∠EAB=∠PCB．
∴tan∠PCB=

3

2

．
在Rt△ABD中，AD=AB•sin∠ABD=

7

2

3

，
在Rt△NDC中，ND=DC•tan∠NCD=

7

4

3

，
∴NA=AD-ND=

7

4

3

．
過N作NH⊥AC，垂足為H．
在Rt△ANH中，NH=

1

2

AN=

7

8

3

，AH=AN•cos∠NAH=

21

8

，
∴CH=AC-AH=

35

8

，
∴tan∠ACP=

3

5

．

點評：本題考查了相似三角形的判定，利用直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的概念求解，通過作輔助線使線段與線段的關(guān)系得到明確．本題的計算量大，難度適中．