Question

如圖，△ACD、△ABE、△BCF均為直線BC同側的等邊三角形．
（1）當AB≠AC時，證明：四邊形ADFE為平行四邊形；
（2）當AB=AC時，順次連接A、D、F、E四點所構成的圖形有哪幾類？直接寫出構成圖形的類型和相應的條件．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明ADEF是平行四邊形，可通過證明EF=AD，DF=AE來實現，AD=AC，AE=AB，那么只要證明△ABC≌△DFC以及△FEB≌△CAB即可．AD=DC，CF=CB，又因為∠FCB=∠ACD=60°，那么都減去一個∠ACF后可得出∠BCA=∠FCD，那么就構成了SAS，△ABC≌△DFC，就能求出AE=DF，同理可通過證明△FEB≌△CAB得出EF=AD．
（2）可按∠BAC得度數的不同來分情況討論，如果∠BAC=60°，∠EAD+∠BAC+∠DAC=180°，因此，A與F重合A、D、F、E四點所構成的圖形為一條線段．當∠BAC≠60°時，由（1）AE=AB=AC=AD，因此A、D、F、E四點所構成的圖形是菱形．
解答：（1）證明：∵△ABE、△BCF為等邊三角形，
∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°．
∴∠CBA=∠FBE．
∴△ABC≌△EBF．
∴EF=AC．
又∵△ADC為等邊三角形，
∴CD=AD=AC．
∴EF=AD．
同理可得AE=DF．
∴四邊形AEFD是平行四邊形．

（2）解：構成的圖形有四類，一類是菱形，一類是線段，一類是正方形，一類是三角形．
當圖形為菱形時，∠BAC≠60°（或A與F不重合、△ABC不為正三角形）；
當圖形為線段時，∠BAC=60°（或A與F重合、△ABC為正三角形）；
當圖形為正方形時，∠BAC=150°；
當圖形為三角形時，E，F，D三點共線．
點評：本題的關鍵是通過三角形的全等來得出線段的相等，要先確定所要證得線段所在的三角形，然后看證明三角形全等的條件是否充足，缺少條件的要根據已知先求出了．