Question

如圖，AB為⊙O的直徑，D是⊙O上的一點，過O點作AB的垂線交AD于點E，交BD的延長線于點C，F(xiàn)為CE上一點，且FD=FE．
（1）請?zhí)骄縁D與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若⊙O的半徑為2，BD=

3

，求BC的長．

Answer 1

分析：（1）連接圓心和切點，利用OC⊥AB可證得∠ODF=90°，從而得到其位置關(guān)系；
（2）易證得△COB∽△ADB，利用相似比求解即可．

解答：解：（1）FD與⊙O相切．1分
證明：連接OD；
∵FE=FD，
∴∠FED=∠FDE； 3分
又∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠OEA+∠OAE=90°，∠FED=∠AEO，
∴∠ODE+∠FDE=90°，
∴FD與⊙O相切．

（2）∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°；
∵OC⊥AB，
∴∠COB=∠ADB=90°，∠CBO=∠ABD，
∴△COB∽△ADB，
∴

OB

DB

=

BC

AB

，
∴BC=

2×4

3

=

8 3

3

．

點評：求直線和圓的位置關(guān)系，首先要猜想是相切，那么應(yīng)連接圓心和切點，證半徑和直線所夾的角是90°，需注意利用相似來求相關(guān)線段的長度．