Question

25、如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，點E是CD的中點．
（1）作點P，使它與點O關于點E成中心對稱，連接CP、DP；
（2）若四邊形ABCD是矩形，試判斷（1）中所得四邊形CODP的形狀并說明理由；
（3）若（1）中所得四邊形CODP是正方形，請用圖中的字母和符號表示四邊形ABCD應滿足的條件：

OC=OD，AC⊥BD

．

Answer 1

分析：（1）根據中心對稱的定義延長OE至P，使EP=OE．
（2）首先由DE=CE，EP=OE，得出四邊形CODP是平行四邊形，再根據矩形的性質知OC=OD，最后由有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，得出四邊形CODP是菱形．
（3）如果四邊形CODP是正方形，根據正方形的性質可知OC⊥OD，OC=OD，從而得出四邊形ABCD應滿足的條件．

解答：解：（1）如圖：

（2）∵點E是CD的中點，
∴DE=CE，
又∵EP=OE，
∴四邊形CODP是平行四邊形，
又∵四邊形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴?CODP是菱形．
（3）若（1）中所得四邊形CODP是正方形，請用圖中的字母和符號表示四邊形ABCD應滿足的條件：OC=OD，AC⊥BD．

點評：中心對稱的定義：把一個圖形繞著某個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱點．
一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．
正方形的判定：①先證明它是矩形，再證明它有一組鄰邊相等；②先證明它是菱形，再證明它有一個角為直角．