Question

（2008•梅州）如圖所示，E是正方形ABCD的邊AB上的動點，EF⊥DE交BC于點F．
（1）求證：△ADE∽△BEF；
（2）設正方形的邊長為4，AE=x，BF=y．當x取什么值時，y有最大值？并求出這個最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）這兩個三角形中，已知的條件有∠A=∠B=90°，那么只要得出另外兩組對應角相等即可得出兩三角形相似，因為∠DEA+∠FEB=180-90=90°，而∠ADE+∠DEA=90°，因此∠ADE=∠FEB，同理可得出∠BFE=∠AED，那么就構成了兩三角形相似的條件；
（2）可用x表示出BE的長，然后根據（1）中三角形ADE和FEB相似可得出關于AD，AE，BE，BF的比例關系式，然后就能得出一個關于x，y的函數關系式．根據函數的性質即可得出y的最大值及相應的x的值．
解答：（1）證明：∵ABCD是正方形，
∴∠DAE=∠FBE=90°．
∴∠ADE+∠DEA=90°．
又∵EF⊥DE，∴∠AED+∠FEB=90°，
∴∠ADE=∠FEB，
∴△ADE∽△BEF．

（2）解：由（1）△ADE∽△BEF，AD=4，BE=4-x，得：，
得：y=（-x²+4x）=[-（x-2）²+4]=-（x-2）²+1，
所以當x=2時，y有最大值，y的最大值為1．
點評：本題考查了正方形的性質，相似三角形的性質以及二次函數的應用等知識點．