Question

已知二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過點（1，0），（5，0），（3，-4）．        
（1）求該二次函數的解析式；
（2）當y＞-3，寫出x的取值范圍； 
（3）A、B為直線y=-2x-6上兩動點，且距離為2，點C為二次函數圖象上的動點，當點C運動到何處時△ABC的面積最小？求出此時點C的坐標及△ABC面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）求出y=3時x的值，結合函數圖象，求出y＞-3時x的取值范圍；
（3）△ABC的底邊AB長度為2，是定值，因此當AB邊上的高最小時，△ABC的面積最小．如解答圖所示，由點C向直線y=-2x-6作垂線，利用三角函數（或相似三角形）求出高CE的表達式，根據表達式求出CE的最小值，這樣問題得解．
解答：解：（1）∵點（1，0），（5，0），（3，-4）在拋物線上，
∴，
解得．
∴二次函數的解析式為：y=x²-6x+5．

（2）在y=x²-6x+5中，令y=-3，即x²-6x+5=-3，
整理得：x²-6x+8=0，解得x₁=2，x₂=4．
結合函數圖象，可知當y＞-3時，x的取值范圍是：x＜2或x＞4．

（3）設直線y=-2x-6與x軸，y軸分別交于點M，點N，
令x=0，得y=-6；令y=0，得x=-3
∴M（-3，0），N（0，-6），
∴OM=3，ON=6，由勾股定理得：MN=3，
∴tan∠MNO==，sin∠MNO==．
設點C坐標為（x，y），則y=x²-6x+5．
過點C作CD⊥y軸于點D，則CD=x，OD=-y，DN=6+y．
過點C作直線y=-2x-6的垂線，垂足為E，交y軸于點F，
在Rt△CDF中，DF=CD•tan∠MNO=x，CF====x．
∴FN=DN-DF=6+y-x．
在Rt△EFN中，EF=FN•sin∠MNO=（6+y-x）．
∴CE=CF+EF=x+（6+y-x），
∵C（x，y）在拋物線上，∴y=x²-6x+5，代入上式整理得：
CE=（x²-4x+11）=（x-2）²+，
∴當x=2時，CE有最小值，最小值為．
當x=2時，y=x²-6x+5=-3，∴C（2，-3）．
△ABC的最小面積為：AB•CE=×2×=．
∴當C點坐標為（2，-3）時，△ABC的面積最小，面積的最小值為．
點評：本題是二次函數綜合題型，考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、一次函數的圖象與性質、解直角三角形（或相似三角形）等知識點．難點在于第（3）問，確定高CE的表達式是解題的關鍵所在；本問的另一解法是：直線y=-2x+k與拋物線y=x²-6x+5相切時，切點即為所求的點C，同學們可以嘗試此思路，以求觸類旁通、舉一反三．