Question

如圖，在Rt中，，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，E是BC的中點．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）過點E作EF⊥DE，交AB于點F．若AC=3，BC＝4，求DF的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連結OD，CD，求出DE=CE=BE，推出∠1+∠3=∠2+∠4，求出∠ACB=∠ODE=90°，根據切線的判定推出即可．

（2）根據勾股定理求出AB=5，解直角三角形得出cosB=，求出DE，推出∠EDF=∠B，解直角三角形求出即可．

試題解析：（1）證明：連結OD，CD．

∵是直徑，

∴．

∴．

∵E是BC的中點，

∴．

∴．

∵OC=OD,

∴∠3 =∠4 ，

∴．

即．

∵,

∴.

又∵是半徑，

∴DE是⊙O的切線．

（2）解：在Rt△ABC中，

∵，AC=3，BC＝4，

∴AB=5．           4分

∴．

∵E是BC的中點，

∴．   5分

∴．

∴．

∴．

考點: 1.切線的判定；2.解直角三角形.