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如圖,六邊形ABCDEF內接于半徑為r(常數)的⊙O,其中AD為直徑,且AB=CD=DE=FA.
(1)當∠BAD=75°時,求的長;
(2)求證:BC∥AD∥FE;
(3)設AB=x,求六邊形ABCDEF的周長L關于x的函數關系式,并指出x為何值時,L取得最大值.

【答案】分析:(1)本題要靠輔助線的幫助.連接OB、OC,證明∠COD=∠AOB即可.
(2)連接BD,由(1)得BC∥AD,EF∥AD推出BC∥AD∥FE.
(3)過點B作BM⊥AD于M,由(2)得出四邊形ABCD為等腰梯形,證明△BAM∽△DAB.得出AM、BC、EF的關系然后可求出L的最大值.
解答:(1)解:連接OB、OC,由∠BAD=75°,OA=OB知∠AOB=30°,
∵AB=CD,∴∠COD=∠AOB=30°,
∴∠BOC=120°,(2分)
的長為.(3分)

(2)證明:連接BD,∵AB=CD,
∴弧AB=弧CD,
∴∠ADB=∠CBD,∴BC∥AD,(5分)
同理EF∥AD,從而BC∥AD∥FE.(6分)

(3)解:過點B作BM⊥AD于M,由(2)知四邊形ABCD為等腰梯形,從而BC=AD-2AM=2r-2AM.(7分)
∵AD為直徑,∴∠ABD=90°,易得△BAM∽△DAB,∴AM:AB=AB:AD,
∴AM==,∴BC=2r-,同理EF=2r-,(8分)
∴L=4x+2(2r-)=-x2+4x+4r=-(x-r)2+6r,其中0<x<,(9分)
∴當x=r時,L取得最大值6r.(10分)
點評:本題考查的是相似三角形的性質,弧長的計算以及二次函數的綜合運用,難度較大.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

23、如圖①:四邊形ABCD為正方形,M、N分別是BC和CD中點,AM與BN交于點P,
(1)請你用幾何變換的觀點寫出△BCN是△ABM經過什么幾何變換得來的;
(2)觀察圖①,圖中是否存在一個四邊形,這個四邊形的面積與△APB的面積相等?寫出你的結論.(不必證明)
(3)如圖②:六邊形ABCDEF為正六邊形,M、N分別是CD和DE的中點,AM與BN交于點P,問:你在(2)中所得的結論是否成立?若成立,寫出結論并證明,若不成立請說明理由.

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科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,四邊形ABCD是由四個邊長為l的正六邊形所圍住,則四邊形ABCD的面積是(  )
A、
3
4
B、
3
2
C、1
D、2

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖:四邊形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C,AD=a(a>0),BC=8,AD、BC間的距離為2
3
,有一邊長為2的等邊△EFG,在四邊形ABCD內作任意運動,在運動過程中始終保持EF∥BC.記△EFG在四邊形ABCD內部運動過程中“能夠掃到的部分”的面積為S.
(1)如圖①所示,當a=8時,△EFG在四邊形ABCD內部運動過程中“能夠掃到的部分”即為六邊形HIBCJK,則S=
 

(2)如圖②所示,當a=10時,求S的值;
(3)如圖③所示,當a=2時,求S的值.
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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,四邊形ABCD的內角和為2×180°=360°,五邊形ABCDE的內角和為3×180°=540°,…由此可見:
(1)六邊形的內角和為
720
720
度;
(2)n邊形的內角和為
(n-2)×180
(n-2)×180
度.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,四邊形ABCD是由四個邊長為1的正六邊形所圍住,則四邊形ABCD的面積是(     )
A.1B.2C.D.

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