Question

24、如圖所示，△ABC，△ADE為等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°．
（1）如圖①，點E在AB上，點D與C重合，F為線段BD的中點．則線段EF與FC的數量關系是

EF=FC

；∠EFD的度數為

90°

；
（2）如圖②，在圖①的基礎上，將△ADE繞A點順時針旋轉到如圖②的位置，其中D、A、C在一條直線上，F為線段BD的中點．則線段EF與FC是否存在某種確定的數量關系和位置關系？證明你的結論；
（3）若△ADE繞A點任意旋轉一個角度到如圖③的位置，F為線段BD的中點，連接EF、FC，請你完成圖③，并直接寫出線段EF與FC的關系（無需證明）．

Answer 1

分析：（1）易得△EFC是等腰直角三角形，那么EF=FC，∠EFD=90°．
（2）延長線段CF到M，使CF=FM，連接DM、ME、EC，易證△BFC≌△DFM，進而可以證明△MDE≌△CAE，即可證明EF=FC，EF⊥FC；
（3）基本方法同（2）．

解答：解：（1）EF=FC，90°．

（2）延長CF到M，使CF=FM，連接DM、ME、EC
∵FC=FM，∠BFC=∠DFM，DF=FB，
∴△BFC≌△DFM，
∴DM=BC，∠MDB=∠FBC，
∴MD=AC，MD∥BC，
∵ED=EA，∠MDE=∠EAC=135°，
∴△MDE≌△CAE，
∴ME=EC，∠DEM=∠CEA，
∴∠MEC=90°，
∴EF=FC，EF⊥FC

（3）EF=FC，EF⊥FC．

點評：延長過三角形的中線構造全等三角形是常用的輔助線方法，證明線段相等的問題可以轉化為證明三角形全等的問題解決．