Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．

（1）求證：無論k取什么實數值，該方程總有兩個不相等的實數根；

（2）當Rt△ABC的斜邊長a為，且兩條直角邊的長b和c恰好是這個方程的兩個根時，求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2） ．

【解析】試題分析：（1）根據方程的系數結合根的判別式，可得出△=（2k-3）2+4＞0，由此可證出：無論k取什么實數值，該方程總有兩個不相等的實數根；

（2）根據根與系數的關系結合勾股定理，即可得出關于k的一元二次方程，解之即可得出k值，進而可得出原方程，再根據根與系數的關系，即可求出△ABC的周長．

試題解析：解：（1）△=[﹣（2k+1）]2﹣4（4k﹣3）=4k2﹣12k+13=（2k﹣3）2+4．

∵（2k﹣3）2≥0，∴（2k﹣3）2+4＞0，即△＞0，∴無論k取什么實數值，該方程總有兩個不相等的實數根；

（2）∵b、c是方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0的兩個根，∴b+c=2k+1，bc=4k﹣3．

∵a2=b2+c2，a=，∴k2﹣k﹣6=0，∴k1=3，k2=﹣2．

∵b、c均為正數，∴4k﹣3＞0，∴k=3，此時原方程為x2﹣7x+9=0，∴b+c=7，∴△ABC的周長為7+ ．