Question

如圖，把一張矩形的紙ABCD沿對角線BD折疊，使點C落在點E處，BE與AD交于點F．
（1）求證：△ABF≌△EDF；
（2）若將折疊的圖形恢復原狀，點F與BC邊上的點M正好重合，連接DM，試判斷四邊形BMDF的形狀，并說明理由．

Answer 1

（1）證明：由折疊可知，CD=ED，∠E=∠C．
在矩形ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．
∴AB=ED，∠A=∠E．
∵∠AFB=∠EFD，
∴△AFB≌△EFD．

（2）解：四邊形BMDF是菱形．
理由：由折疊可知：BF=BM，DF=DM．
由（1）知△AFB≌△EFD，∴BF=DF．
∴BM=BF=DF=DM．
∴四邊形BMDF是菱形．
分析：（1）因為△BCD關于BD折疊得到△BED，顯然△BCD≌△BED，得出CD=DE=AB，∠E=∠C=∠A=90°．
再加上一對對頂角相等，可證出△ABF≌△EDF；
（2）利用折疊知識及菱形的判定可得出四邊形BMDF是菱形．
點評：本題利用了折疊的知識（折疊后的兩個圖形全等）以及矩形的性質（矩形的對邊相等，對角相等），以及菱形的判定、全等三角形的判定和性質的有關知識．