Question

（2001•上海）已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AD=5，AB=DC=2．
（1）如圖，P為AD上的一點，滿足∠BPC=∠A，求AP的長；
（2）如果點P在AD邊上移動（點P與點A、D不重合），且滿足∠BPE=∠A，PE交直線BC于點E，同時交直線DC于點Q．
①當點Q在線段DC的延長線上時，設AP=x，CQ=y，求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
②當CE=1時，寫出AP的長．（不必寫解答過程）

Answer 1

【答案】分析：（1）當∠BPC=∠A時，∠A+∠APB+∠ABP=180°，而∠APB+∠BPC+∠DPC=180°，因此∠ABP=∠DPC，此時三角形APB與三角形DPC相似，那么可得出關于AP，PD，AB，CD的比例關系式，AB，CD的值題中已經告訴，可以先用AP表示出PD，然后代入上面得出的比例關系式中求出AP的長．
（2）①與（1）的方法類似，只不過把DC換成了DQ，那么只要用DC+CQ就能表示出DQ了．然后按得出的關于AB，AP，PD，DQ的比例關系式，得出x，y的函數關系式．
②和①的方法類似，但是要多一步，要先通過平行得出三角形PDQ和CEQ相似，根據CE的長，用AP表示出PD，然后根據PD，DQ，QC，CE的比例關系用AP表示出DQ，然后按①的步驟進行求解即可．
解答：解：（1）∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB=DC．
∴∠A=∠D
∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A
∴∠ABP=∠DPC，
∴△ABP∽△DPC
∴，即：
解得：AP=1或AP=4．

（2）①由（1）可知：△ABP∽△DPQ
∴，即：，
∴（1＜x＜4）．  
②當CE=1時，AP=2或．
點評：本題結合梯形的性質考查二次函數的綜合應用，利用相似三角形得出線段間的比例關系是求解的關鍵．