Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點坐標為（2，4），直線與軸相交于點，連結，拋物線從點沿方向平移，與直線交于點，頂點到點時停止移動．

（1）求線段所在直線的函數解析式；

（2）設拋物線頂點的橫坐標為，當為何值時，線段最短；

（3）當線段最短時，相應的拋物線上是否存在點，使△的面積與△的面積相等，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）當時，PB最短；（3）拋物線上存在點，

使△與△的面積相等.

【解析】

試題分析：解：（1）設所在直線的函數解析式為，

∵（2，4），∴, ,

∴所在直線的函數解析式為. 2分

（2）∵頂點M的橫坐標為，且在線段上移動，

∴（0≤≤2）.

∴頂點的坐標為(,).

∴拋物線函數解析式為

∴當時，（0≤≤2）.

∴， 又∵0≤≤2，

∴當時，PB最短.         6分

（3）當線段最短時，此時拋物線的解析式為.

假設在拋物線上存在點，使. 設點的坐標為（，）.

①當點落在直線的下方時，過作直線//，交軸于點，

∵，，

∴，∴，∴點的坐標是（0，）.

∵點的坐標是（2，3），∴直線的函數解析式為.

∵，∴點落在直線上.

∴=.解得，即點（2，3）.

∴點與點重合.

∴此時拋物線上不存在點，使△與△的面積相等.  7分

②當點落在直線的上方時，

作點關于點的對稱稱點，過作直線//，交軸于點，

∵，∴，

∴、E、D的坐標分別是（0，1），（2，5），

∴直線函數解析式為.

∵，∴點落在直線上.

∴=.

解得：，.

代入，得，.

∴此時拋物線上存在點，… 9分

使△與△的面積相等.  

綜上所述，拋物線上存在點、

使△與△的面積相等. 10分

考點：拋物線

點評：本題考查求函數解析式和拋物線的知識，會用待定系數法求函數解析式，對拋物線的性質的運用，是解決本題的關鍵