Question

本題分為A、B 兩類題，你可從A、B 兩類題中任選一題解答即可
（A類）：如圖，在△ABC中，AB=AC=a，M為底邊BC上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作AB、AC的平行線交AC于P，交AB于Q．
（1）求四邊形AQMP的周長；
（2）寫出圖中的兩對相似三角形（不需證明）；
（3）M位于BC的什么位置時(shí)，四邊形AQMP為菱形？說明你的理由．
（B類）：有人這樣證明三角形內(nèi)角和是180°，如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AD、BD、CD，他們將△ABC分成了三個(gè)小的三角形．因此有：三個(gè)小三角形的內(nèi)角和的和比△ABC的內(nèi)角和多360°，如果設(shè)三角形內(nèi)角和是x，則有：x+x+x=x+360°，易解得x=180°，你認(rèn)為這個(gè)證明正確嗎？說說你的理由．

Answer 1

分析：A類（1）由已知AB=AC和PM∥AB，QM∥AC，可推出∠PMC=∠B=∠C，∠QMB=∠C=∠B，所以得QM=QB，PM=PC，從而求出四邊形AQMP的周長；
（2）由PM∥AB，QM∥AC，可推出△QMB∽△ABC，△PMC∽△ABC；
（3）當(dāng)M位于BC的中點(diǎn)時(shí)，由已知得PM=QM=

1

2

AB=

1

2

AC，所以四邊形AQMP為菱形．

解答：解：（1）∵AB=AC=a，
∴∠B=∠C，
又∵PM∥AB，QM∥AC，
∴∠PMC=∠B=∠C，∠QMB=∠C=∠B，
∴QM=QB，PM=PC，
∴四邊形AQMP的周長為：AQ+QM+PM+AP
=AQ+QB+PC+AP
=AB+AC
=2a；

（2）由已知得：△QMB∽△ABC，△PMC∽△ABC；

（3）已知AB=AC，PM∥AB，QM∥AC，M位于BC的中點(diǎn)，
∴PM=QM=

1

2

AB=

1

2

AC，
∴AQ=PM=QM=AP，
∴四邊形AQMP為菱形．

點(diǎn)評：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形、等腰三角形的性質(zhì)及菱形的判定，解答此題的關(guān)鍵是運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)．