Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC是⊙O的直徑，D是劣弧

AC

的中點，BD交AC于點E．
（1）求證：AD²=DE•DB；
（2）若BC=

5

2

，CD=

5

2

，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）欲證AD²=DE•DB，D是劣弧

AC

的中點，有∠DAC=∠ABD，又∠ADB公共，證明△ABD∽△AED得出相似比；
（2）欲求DE的長，由AD²=DE•DB知，需求出AD、DB的長，（CB是直徑，則△BCD是直角三角形，勾股定理求出BD的長，AD=CD）．

解答：（1）證明：由D是劣弧

AC

的中點，得

AD

=

DC

?∠ABD=∠DAC，
又∵∠ADB=∠EDA，
∴△ABD∽△EAD，
∴

AD

DE

=

DB

AD

，
∴AD²=DE•DB；

（2）解：由D是劣弧

AC

的中點，得AD=DC，則DC²=DE•DB
∵CB是直徑，
∴△BCD是直角三角形．
∴BD=

BC2-CD2

=

( 5 2 )2-( 5 2 )2

=

5

由DC²=DE•DB得，(

5

2

)2=

5

DE，
解得DE=

5

4

．

點評：（1）乘積的形式通常可以轉化為比例的形式，通過相似三角形的性質得出；
（2）考查了直徑所對的圓周角為直角及解直角三角形的知識．