Question

如圖，C是以AB為直徑的⊙O上一點，過O作OE⊥AC于點E，過點A作⊙O的切線交OE的延長線于點F，連接CF并延長交BA的延長線于點P．
（1）求證：PC是⊙O的切線．
（2）若AF=1，OA=，求PC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，根據垂徑定理，利用等角代換可證明∠FAC=∠FCA，然后根據切線的性質得出∠FAO=90°，然后即可證明結論．
（2）先證明△PAF∽△PCO，利用相似三角形的性質得出PC與PA的關系，在Rt△PCO中，利用勾股定理可得出x的值，繼而也可得出PC得長．
解答：（1）證明：連接OC，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，FA=FC，
∴∠FAC=∠FCA，
∵OA=OC（圓的半徑相等），
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA，即∠FAO=∠FCO，
∵FA與⊙O相切，且AB是⊙O的直徑，
∴FA⊥AB，
∴∠FCO=∠FAO=90°，
∵CO是半徑，
∴PC是⊙O的切線；

（2）解：∵PC是⊙O的切線，
∴∠PCO=90°，
又∵∠FPA=∠OPC，∠PAF=90°，
∴△PAF∽△PCO，
∴
∵CO=OA=，AF=1，
∴PC=PA，
設PA=x，則PC=．
在Rt△PCO中，由勾股定理得：，
解得：，
∴PC=2×=．
點評：此題考查了切線的性質、勾股定理、圓周角定理、相似三角形的判定與性質，涉及知識點較多，解答本題要求熟練掌握切線的判定定理及性質，有一定難度．