Question

已知拋物線y=ax²-2x+c與x軸交于A（-1，0）、B兩點，與y軸交于點C，對稱軸為x=1，頂點為E，直線y=-

1

3

x+1交y軸于點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求證：△BCE∽△BOD；
（3）點P是拋物線上的一個動點，當點P運動到什么位置時，△BDP的面積等于△BOE的面積？

Answer 1

分析：（1）在拋物線y=ax²-2x+c中，已知對稱軸x=-

b

2a

=1，可求出a的值；再將點A的坐標代入拋物線的解析式中，可確定c的值，由此得解．
（2）首先由拋物線的解析式，確定點B、C、E的坐標，由直線BD的解析式能得到點D的坐標；在求出△BCE、△BOD的三邊長后，由SSS來判定這兩個三角形相似．
（3）△BOE的面積易得，而在（2）中求出了BD的長，由△BDP、△BOE的面積相等先求出點P到直線BD的距離，如何由這個距離求出點P的坐標？這里需要進行適當的轉化；首先在y軸上取一點（可設為點M），使得點M到直線BD的距離等于點P到直線BD的距離，通過解直角三角形先求出DM的長，由此確定點M的坐標，然后過M作平行于直線BD的直線，再聯立拋物線的解析式即可確定點P的坐標．

解答：解：（1）拋物線y=ax²-2x+c中，對稱軸x=-

b

2a

=-

-2

2a

=1，∴a=1；
將點A（-1，0）代入y=ax²-2x+c中，得：1+2+c=0，c=-3；
∴拋物線的解析式：y=x²-2x-3．

（2）∵拋物線的解析式：y=x²-2x-3=（x-1）²-4=（x+1）（x-3），
∴點C（0，-3）、B（3，0）、E（1，-4）；
易知點D（0，1），則有：
OD=1、OB=3、BD=

10

；
CE=

2

、BC=3

2

、BE=2

5

；
∴

OD

CE

=

OB

BC

=

BD

BE

；
∴△BCE∽△BOD．

（3）S_△BOE=

1

2

×BO×|y_E|=

1

2

×3×4=6；
∴S_△BDP=

1

2

×BD×h=S_△BOE=6，即 h=

12

10

．
在y軸上取點M，過點M作MN⊥BD于N，使得MN=h=

12

10

；
在Rt△MND中，sin∠MDB=

3

10

，且 MN=

12

10

；則 MD=

MN

sin∠MDB

=4；
∴點M（0，-3）或（0，5）．
過點M作直線l∥MN，如右圖，則 直線l：y=-

1

3

x-3或y=-

1

3

x+5，聯立拋物線的解析式有：

y=- 1 3 x-3 y=x2-2x-3

或

y=- 1 3 x+5 y=x2-2x-3

解得：

x1=0 y1=-3

、

x2= 5 3 y2=- 32 9

、

x3= 5+ 313 6 y3= 85- 313 18

、

x4= 5- 313 6 y4= 85+ 313 18

∴當點P的坐標為（0，-3）、（

5

3

，-

32

9

）、（

5+ 313

6

，

85- 313

18

）、（

5- 313

6

，

85+ 313

18

）時，△BDP的面積等于△BOE的面積．

點評：該題涉及到拋物線解析式的確定、相似三角形的判定和性質以及圖形面積的解法等重點知識；最后一題中，由于BD不與x軸、y軸垂直，給解答帶來了難度，但通過將BD邊上的高進行適當轉化，得出過點P且與BD平行的直線l的解析式是突破題目的關鍵．