Question

【題目】如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，點D在邊AB的延長線上，BD=3，過點D作DE⊥AB，與邊AC的延長線相交于點E，以DE為直徑作⊙O交AE于點F．
（1）求⊙O的半徑及圓心O到弦EF的距離；
（2）連接CD，交⊙O于點G（如圖2）．求證：點G是CD的中點．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，由勾股定理得：AC=4，

∵AB=5，BD=3，

∴AD=8，

∵∠ACB=90°，DE⊥AD，

∴∠ACB=∠ADE，

∵∠A=∠A，

∴△ACB∽△ADE，

∴ =

∴ = =

∴DE=6，AE=10，

即⊙O的半徑為3；

過O作OQ⊥EF于Q，

則∠EQO=∠ADE=90°，

∵∠QEO=∠AED，

∴△EQO∽△EDA，

∴ = ，

∴ = ，

∴OQ=2.4，

即圓心O到弦EF的距離是2.4；

（2）解：連接EG，

∵AE=10，AC=4，

∴CE=6，

∴CE=DE=6，

∵DE為直徑，

∴∠EGD=90°，

∴EG⊥CD，

∴點G為CD的中點．

【解析】（1）根據勾股定理求出AC，證△ACB∽△ADE，得出 = ，代入求出DE=6，AE=10，過O作OQ⊥EF于Q，證△EQO∽△EDA，代入求出OQ即可；（2）連接EG，求出EG⊥CD，求出CE=ED，根據等腰三角形的性質求出即可．