Question

隨著近幾年經濟的快速發展，人民生活水平逐步提高，市場對魚肉的需求量逐年增大．某農場計劃投資養殖魚和生豬，根據市場調查與預測，養殖生豬的利潤y₁與投資量x成正比例關系，如圖①所示；養殖魚的利潤y₂與投資量x成二次函數關系，如圖②所示（利潤與投資量的單位：萬元）
（1）分別求出利潤y₁與y₂關于投資量x的函數關系式；
（2）如果農場以8萬元資金投入養殖魚和生豬，農場至少獲得多少利潤？農場能獲取的最大利潤是多少？

Answer 1

解：（1）設y₁=kx（k≠0），
把P（1，2）坐標代入得k=2，
∴y₁=2x；
設y₂=ax²（a≠0），
把Q（2，2）代入得a=，
∴y₂=x²

（2）設養殖魚投資t萬元，利潤為y萬元，則養殖生豬（8-t）萬元．
根據題意得：y=y₁+y₂=2（8-t）+t²=t²-2t+16=（t-2）²+14（0≤t≤8）
當t=2時，y_最小值=14；當t=8時，y_最大值=32
答：農場至少獲得利潤14萬元；農場能獲取的最大利潤是32萬元．
分析：（1）根據直線，拋物線在坐標系的位置，合理地設函數解析式，都是直線，拋物線解析式的最簡形式．（2）農場以8萬元資金投入養殖魚和生豬，設養殖魚投資t萬元，利潤為y萬元，則養殖生豬（8-t）萬元，這里的利潤是兩項利潤的和．利用二次函數的性質，求最大值．
點評：所求二次函數自變量t有一定限制，圖象也只是拋物線的一部分，求最大（最小）利潤，需要在自變量取值范圍內．