Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，弦CD、AF相交于點G，過點D作⊙O的切線交AF的延長線于M，且

AC

=

CBF

．
（1）在圖中找出相等的線段（直接在橫線上填寫，所寫結論至少3組，所添輔助線段除外，不需寫推理過程）

 

；
（2）連接AD，DF（請將圖形補充完整），若AO=

4

5

15

，OE=

1

5

15

，求AD：DF的值；
（3）在滿足（1）、（2）的前提下，求DM的長．

Answer 1

分析：（1）本題中相等的弦較多，不一一列舉，得出相等線段的方法大致有3種：
①⊙O的半徑相等，如：OA=OB；②垂徑定理，如：CE=DE；③等弧對等弦，如：AF=CD；
（2）已知OA、OE的長，即可得出AE、BE的值；根據相交弦定理的推論，可得DE²=AE•EB，由此可求出DE的長，也就求出了CD、DF的長，進而可在Rt△ADE中，求出AD的長，過證△ADG∽△AFD，得：AD²=AG•AF，可求出AG、GF的長，連接AC，易知：△ACG∽△FDG，得AC：DF=AG：GF，AG、GF的長已知，由此可求出AC、DF的比例關系，由于AC=AD，也就得出了AD：DF的值；
（3）先由△DMF∽△AMD，得出DM、AM的比例關系，然后用未知數表示出DM、AM、MF的長，進而可根據切割線定理求出DM的值．

解答：解：（1）CE=DE，OA=OB，CD=AF；

（2）由題意，知：AE=AO+OE=

15

，BE=OB-OE=

3

5

15

，
由相交弦定理，知：DE²=AE•EB=9，即DE=3，CD=6，
Rt△ADE中，由勾股定理，得：
AD²=AE²+DE²=24
∵

AD

=

AC

=

CBF

∴∠ADG=∠AFD
∴△ADG∽△AFD
∴AD²=AG•AF，即AG=

AD2

AF

=4
∴GF=AF-AG=2
連接AC，易證得△ACG∽△FDG
∴

AC

DF

=

AG

GF

=2
∵

AC

=

AD

∴AD=AC，即

AD

AF

=2；

（3）∵MD切⊙O于D，
∴∠MDF=∠MAD
又∵∠FMD=∠DMA
∴△DMF∽△AMD
∴

MD

AM

=

DF

AD

=

1

2

設MD=x，則AM=2x，MF=2x-6
由切割線定理，得：DM²=MF•AM
即：x²=（2x-6）×2x，解得x=4
即MD=4．

點評：本題主要考查了切線的性質，弦切角定理，切割線定理，垂徑定理，弧、弦的關系以及相似三角形的判定和性質；涉及的知識點多，綜合性強，難度較大．