Question

蕭山所前的”杜家楊梅節”越辦越紅火了．某果品批發公司為指導2007年的楊梅銷售，對歷年的市場銷售情況進行了調查統計，得到如下數據：

銷售價x（元/千克）	25	24	23	22	21	20	19	18
銷售量y（千克）	2000	2500	3000	3500	4000	4500	5000	5500

（1）觀察表格中的數據，求出y與x的函數關系式；
（2）若楊梅平均進價為13元/千克，試求出銷售利潤P（元）與銷售價x（元/千克）之間的函數關系式，并求出當銷售價定為多少時，銷售利潤最大？
（3）請通過畫該函數的草圖的方法，觀察圖象的變化趨勢，求出當銷售價在什么范圍內時，銷售利潤不少于24000元？

Answer 1

解：（1）利用表格中數據得出y是x的一次函數．
設y=kx+b，
∵點（25，2000），（24，2500）在圖象上，
∴，
解之得：．
∴y=-500x+14500；

（2）∵銷售利潤P（元）=[銷售價x（元/千克）-13]×銷量，
∴P=（x-13）•y，
=（x-13）•（-500x+14500），
=-500x²+21000x-188500，
=-500（x-21）²+32000．
∴P與x的函數關系式為，
P=-500x²+21000x-188500．
當銷售價為21元/千克時，能獲得最大利潤；

（3）當P=24000時，
∴-500x²+21000x-188500=24000，
解得x₁=17，x₂=25，
觀察圖象可知，當17≤x≤25時，P≥24000．

分析：（1）利用表格中數據得出y是x的一次函數，利用待定系數法求一次函數解析式即可；
（2）根據銷售利潤P（元）=[銷售價x（元/千克）-平均進價]×銷量，即可得出p與x之間的關系式求出最值即可；
（3）利用-500x²+21000x-188500=24000，求出圖象上點的橫坐標，結合坐標系即可得出答案．
點評：此題主要考查了二次函數在實際問題中的運用以及待定系數法求一次函數解析式和數形結合求自變量的取值范圍等知識，求二次函數最值是考查重點，利用數形結合得出是解題關鍵．