Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C、D為⊙O上兩點，且，過點O作OE⊥AC于點E⊙O的切線AF交OE的延長線于點F，弦AC、BD的延長線交于點G.

（1）求證：∠F＝∠B；

（2）若AB＝12，BG＝10，求AF的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）根據圓周角定理得到∠GAB＝∠B，根據切線的性質得到∠GAB+∠GAF＝90°，證明∠F＝∠GAB，等量代換即可證明；

（2）連接OG，根據勾股定理求出OG，證明△FAO∽△BOG，根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可.

（1）證明：∵，

∴.

∴∠GAB＝∠B，

∵AF是⊙O的切線，

∴AF⊥AO.

∴∠GAB+∠GAF＝90°.

∵OE⊥AC，

∴∠F+∠GAF＝90°.

∴∠F＝∠GAB，

∴∠F＝∠B；

（2）解：連接OG.

∵∠GAB＝∠B，

∴AG＝BG.

∵OA＝OB＝6，

∴OG⊥AB.

∴，

∵∠FAO＝∠BOG＝90°，∠F＝∠B，

∴△FAO∽△BOG，

∴.

∴.