Question

（2006•龍巖）我國宋朝數學家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了（a+b）ⁿ（n為非負整數）展開式的項數及各項系數的有關規律．
例如：（a+b）=1，它只有一項，系數為1；（a+b）¹=a+b，它有兩項，系數分別為1，1，系數和為2；（a+b）²=a²+2ab+b²，它有三項，系數分別為1，2，1，系數和為4；（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³，它有四項，系數分別為1，3，3，1，系數和為8；
…
根據以上規律，解答下列問題：
（1）（a+b）⁴展開式共有______項，系數分別為______；
（2）（a+b）ⁿ展開式共有______項，系數和為______．

Answer 1

【答案】分析：本題通過閱讀理解尋找規律，觀察可得（a+b）ⁿ（n為非負整數）展開式的各項系數的規律：首尾兩項系數都是1，中間各項系數等于（a+b）^n-1相鄰兩項的系數和．因此可得（a+b）⁴的各項系數分別為1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，即：1、4、6、4、1．
解答：解：（1）根據題意知，（a+b）⁴的展開后，共有5項，
各項系數分別為1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，
即：1、4、6、4、1；

（2）當a=b=1時，（a+b）ⁿ=2ⁿ．
故答案為：（1）5，1，4，6，4，1；（2）n+1，2ⁿ．
點評：本題考查了完全平方公式，關鍵在于觀察、分析已知數據，尋找它們之間的相互聯系，探尋其規律．