Question

如圖，在三角形ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米，點P從A沿AB邊向點B以1厘米/秒的速度移動，點Q從B沿BC邊向點C以2厘米/秒的速度移動，如P與Q同時出發，且當一點移動到端點并停止時，另一點也同時停下，
（1）問幾秒后三角形PBQ的面積為8平方厘米？
（2）經過幾秒后三角形PBQ與三角形ABC相似？

Answer 1

分析：（1）設經過x秒鐘，使△PBQ的面積為8cm²，得到BP=6-x，BQ=2x，根據三角形的面積公式得出方程

1

2

×（6-x）×2x=8，求解即可；
（2）設經過a秒鐘，使△PBQ與△ABC相似，根據兩邊成比例并且夾角相等的兩三角形相似得到第一種情況 BP：AB=BQ：BC和第二種情況 BP：BC=BQ：AB，代入求出即可．

解答：解：（1）設經過x秒鐘，使△PBQ的面積為8cm²，
BP=6-x，BQ=2x，
∵∠B=90°，
∴

1

2

BP×BQ=8，
∴

1

2

×（6-x）×2x=8，
∴x₁=2，x₂=4，
答：經過2或4秒鐘，使△PBQ的面積為8cm²．

（2）解：設經過a秒鐘，使△PBQ與△ABC相似，
∵∠B=∠B，
第一種情況：當 BP：AB=BQ：BC時，△PBQ與△ABC相似，
∴（6-a）：6=2a：8，
解得：a=2.4，
第二種情況：當 BP：BC=BQ：AB時，△PBQ與△ABC相似，
∴（6-a）：8=2a：6，
∴a=

18

11

．
答：如果點P、Q分別從A、B同時出發，經過2.4或

18

11

秒鐘，使△PBQ與△ABC相似．

點評：本題考查了相似三角形的判定以及一元二次方程的應用、三角形面積的求法，是中考壓軸題，難度較大．