Question

如圖，二次函數y=ax²+bx+2的圖象與x軸、y軸的交點分別為A、B，點C在這個二次函數的圖象上，且∠ABC=90°，∠CAB=∠BAO，．
（1）求點A的坐標；
（2）求這個二次函數的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據二次函數y=ax²+bx+2的y軸的交點B，確定出B點的坐標值（即可知線段OB的長）．再利用三角函數，求得線段OA的長，進而確定出A點的坐標值．
（2）由（1）知A點的坐標值，再求得C點的坐標值，聯立組成方程組即可解得a、b的值．要求C點的值，因而過點C作CD⊥y軸，垂足為D．首先證得Rt△CDB∽Rt△BOA，利用相似三角形的性質求得CD、DB的長，進而得到C點的坐標值．
解答：解：（1）二次函數y=ax²+bx+2的圖象y軸的交點為B（0，2），（1分）
在Rt△AOB中，
∵OB=2，，（1分）
∴OA=4，
∴點A的坐標（4，0）．（1分）

（2）過點C作CD⊥y軸，垂足為D，（1分）
∵∠CDB=∠ABC=∠AOB=90°，
∴∠CBD=180°-∠ABC-∠ABO=90°-∠ABO=∠BAO．（1分）
∴△CDB∽△BOA，（1分）
∵∠CAB=∠BAO，
∴，（1分）
∴．（1分）
∵OB=2，
∴CD=1，BD=2，
∴OD=4．
∴C（1，4）．（1分）
∵點A、C在二次函數y=ax²+bx+2的圖象上，
∴（1分）
∴（1分）
∴二次函數解析式為．（1分）
點評：本題是一道二次函數的綜合題，主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點的求法、相似三角形的判定與性質、三角函數等知識點．另外巧妙添加輔助線CD構造直角三角形，也是解題成功的一個關鍵因素；該題也是數形結合數學思想的典型題例．