Question

（2003•重慶）已知拋物線y=-x²+（m-4）x+2m+4與x軸交于點A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點，與y軸交于點C，且x₁＜x₂，x₁+2x₂=0．若點A關于y軸的對稱點是點D．
（1）求過點C、B、D的拋物線的解析式；
（2）若P是（1）中所求拋物線的頂點，H是這條拋物線上異于點C的另一點，且△HBD與△CBD的面積相等，求直線PH的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為二次函數的二次項系數a=-1＜0，故拋物線開口向下，由圖象于x軸有兩個交點可知，拋物線頂點的縱坐標大于0，令y=0，即-x²+（m-4）x+2m+4=0，根據一元二次方程根與系數的關系，及二次函數圖象的特點列出方程及不等式組，即可求出A，B，C三點的坐標．由點A與點D關于y軸對稱，可求出D點的坐標，用待定系數法即可求出經過C、B、D的拋物線的解析式．
（2）根據（1）中所得拋物線的解析式可求出拋物線的頂點坐標P，因為△HBD與△CBD同底，且其面積相等，故設點H的坐標為H（x，y），則|y|=8，因為拋物線的頂點坐標為P（-1，9），所以點H只能在x軸的上方，故y=8，代入（1）中所得拋物線的解析式即可求出H點的坐標，再用待定系數法即可求出直線PH的解析式．
解答：解：（1）由題意得：

由①②得：x₁=2m-8，x₂=-m+4，
將x₁、x₂代入③得：（2m-8）（-m+4）=-2m-4，
整理得：m²-9m+14=0．
∴m₁=2，m₂=7（2分）
∵x₁＜x₂
∴2m-8＜-m+4
∴m＜4
∴m₂=7（舍去）（3分）
∴x₁=-4，x₂=2，點C的縱坐標為：2m+4=8
∴A、B、C三點的坐標分別是A（-4，0）、B（2，0）、C（0，8）（4分）
又∵點A與點D關于y軸對稱
∴D（4，0）（5分）
設經過C、B、D的拋物線的解析式為：y=a（x-2）（x-4）（6分）
將C（0，8）代入上式得：8=a（0-2）（0-4）
∴a=1，
∴所求拋物線的解析式為：y=x²-6x+8．（7分）

（2）∵y=x²-6x+8=（x-3）²-1，
∴頂點P（3，-1）（8分）
設點H的坐標為H（x，y）
∵△BCD與△HBD的面積相等
∴|y|=8
∵點H只能在x軸的上方，
故y=8
將y=8代入y=x²-6x+8中得：x=6或x=0（舍去）
∴H（6，8）（9分）
設直線PH的解析式為：y=kx+b得：
，
解得：，
∴直線PH的解析式為：y=3x-10．（12分）
點評：此題比較復雜，綜合考查了二次函數與一元二次方程的關系，及二次函數與一次函數圖象上點的坐標特征，是一道難度適中的題目．