Question

如圖，已知A（-1，n），B（

1

2

，-2）是一次函數y=kx+b的圖象和反比例函數y=

m

x

的圖象的兩個交點．
（1）求反比例函數和一次函數的解析式；
（2）求直線AB與x軸交點C的坐標及△AOB的面積；
（3）求方程kx+b-

m

x

=0的解（請直接寫出答案）；
（4）在y軸上是否存在一點P，使三角形PAO為等腰三角形？若存在，請直接寫出P點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為A（-1，n），B（

1

2

，-2）是一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數 y=

m

x

的圖象的兩個交點，由m=（-2）×

1

2

即可求出m的值，確定出反比例解析式，然后把A點坐標代入即可求出n的值，從而求出B點坐標，進而把求出的A、B點的坐標代入一次函數y=kx+b的解析式，得到關于k和b的二元一次方程組，求出方程組的解就可求出k、b的值；
（2）利用一次函數與x軸交于點C，求出點C的坐標，所以x軸把△AOB的面積分為△AOC和△BOC的面積之和，利用點C橫坐標的絕對值，分別乘以點A和點B縱坐標的絕對值，由三角形的面積公式即可求出△AOC和△BOC的面積之和，進而得到△AOB的面積；
（3）根據兩函數圖象的交點即可求出方程kx+b-

m

x

=0的解；
（4）分別利用AO為腰或底邊結合圖形得出P點坐標即可．

解答：解：（1）∵B（

1

2

，-2）是反比例函數 y=

m

x

的圖象的點，
∴m=（-2）×

1

2

，
∴y=-

1

x

，
∵A（-1，n）點也在反比例函數 y=

m

x

的圖象上，
∴-n=m=-1，
∴n=1，
∴將A（-1，1），B（

1

2

，-2）代入y=kx+b得：

-k+b=1 1 2 k+b=-2

，
解得：

k=-2 b=-1

，
則一次函數解析式為：y=-2x-1；

（2）直線AB與x軸交點C的坐標為：當y=0時，x=-

1

2

，
則C點坐標為：(-

1

2

，0)；
△AOB的面積為：S_△AOC+S_△BOC=

1

2

×

1

2

×1+

1

2

×

1

2

×2=

3

4

；

（3）方程kx+b-

m

x

=0的解即為兩函數圖象的交點的橫坐標，
故方程kx+b-

m

x

=0的解為：-1或

1

2

；

（4）如圖所示：∵A（-1，1），
∴AO=

2

，當AO=AP₁=

2

時，P₁坐標為：（0，2），
當AO=OP₂=

2

時，P₂坐標為：（0，

2

），
當AP₃=OP₃=1時，P₃坐標為：（0，1），
當AO=OP₄=

2

時，P₄坐標為：（0，-

2

），
綜上所述：在y軸上存在4個點P，使三角形PAO為等腰三角形
分別為：（0，2）（0，1）（0，

2

）（0，一

2

）．

點評：本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題以及等腰三角形的性質，要求學生能夠熟練運用待定系數法求得函數的解析式；能夠運用數形結合的思想觀察方程的解．