Question

）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點O作OD⊥AC于D．下列四個結論：
①∠BOC＝90º＋∠A；    ②以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切；
③設OD＝m，AE＋AF＝n，則S_△AEF＝mn； ④EF是△ABC的中位線．
其中正確的結論是_____________．

Answer 1

①②

解析解答：解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°-∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A；故①正確；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴EB=EO，F(xiàn)O=FC，
∴EF=EO+FO=BE+CF，
∴以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切，故②正確．
過點O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，連接OA，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，
∴ON=OD=OM=m，
∴S_△AEF=S_△AOE+S_△AOF=AE?OM+AF?OD=OD?（AE+AF）=mn；故③錯誤；
∵EF∥BC，
∴∠BOE=∠CBO，∠COF=∠BCO，
又，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，
∴∠EBO=∠CBO，∠FCO=∠BCO，
∴∠EBO=∠BOE，∠FCO=∠COF，
∴EB=EO，F(xiàn)C=FO，
假設EF是△ABC的中位線，則EA=EB，F(xiàn)A=FC，
∴EO=EA，F(xiàn)O=FA，
∴EA+FA=EO+FO=EF，
推出在△AEF中兩邊之和等于第三邊，不成立，所以④結論不正確
∴其中正確的結論是①②．
故答案為：①②．