Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，P是對角線BD上的一點，點E在AD的延長線上，且PA=PE，PE交CD于F．

（1）求∠CPE的度數；

（2）如圖2，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，當∠ABC=120°時，連接CE，試探究線段AP與線段CE的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）AP=CE．理由參見解析.

【解析】

試題分析：（1）先證出△ABP≌△CBP，根據全等三角形的性質得到∠BAP=∠BCP，進而得∠DAP=∠DCP，由PA=PE，得到∠DAP=∠E，于是∠DCP=∠E，又因為∠PFC=∠DFE，所以∠CPF=∠EDF=90°，從而得到結論；（2）根據菱形的性質得到AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，根據全等三角形的性質得到PA=PC，∠BAP=∠BCP，根據等量減等量差相等和等腰三角形的性質得到∠DAP=∠DCP，∠DAP=∠AEP，等量代換得到∠DCP=∠AEP，∠EPC=∠EDC=60°，PE=PC=PA,推出△EPC是等邊三角形，即可得到結論．

試題解析：（1）先證出△ABP≌△CBP，在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（對頂角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；（2）根據題意，在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，又∵PA=PE，∴PC=PE，∵PA=PE，∴∠DAP=∠AEP，∴∠DCP=∠AEP，∵∠CFP=∠EFD（對頂角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠AEP，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等邊三角形，∴PC=CE，∴AP=CE．