Question

如圖，拋物線y=ax²+bx-3，頂點為E，該拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OB=OC=3OA，直線與y軸交于點D．
（1）求拋物線的解析式和E點坐標；
（2）求∠DBC-∠CBE的大小；
（3）點F是拋物線第四象限上的點，問四邊形OBFC面積最大值為多少？并求此時的點F坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線y=ax²+bx-3與y軸交點為（0，-3），求出C（0，-3），再根據OB=OC=3OA，求出A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），利用待定系數法求出函數解析式．
（2）作EG⊥CO于G，連CE，易知△OBC、△CEG都是等腰直角三角形，則△CBE是直角三角形．分別在Rt△OBD、Rt△BCE中運用正切定義，得到tanα==；tanβ===；判斷出則α=β，求出∠DBC-∠CBE=45°．
（3）將S_{四邊形OCFB}=轉化為S_△OCF與S_△OBF的和，設出F坐標，利用面積公式將面積轉化為二次函數求最值．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-3與y軸交點為（0，-3），
又∵OB=OC=3OA，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）．
將A（-1，0），B（3，0）分別代入y=ax²+bx-3得，
，
解得，
故函數解析式為y=x²-2x-3，
配方得y=（x-1）²-4，
可得，E（1，-4）．

（2）如圖1，作EG⊥CO于G，連CE，易知△OBC、△CEG都是等腰直角三角形，
則△CBE是直角三角形．
分別在Rt△OBD、Rt△BCE中運用正切定義，
即有tanα==；tanβ===；
則α=β，從而可得∠DBC-∠CBE=45°．

（3）作FH⊥x軸于H，FK⊥y軸于K，設F點坐標為（x，x²-2x-3），
S_{四邊形OCFB}=S_△OCF+S_△OBF=×3x+×3x[-（x²-2x-3）]=-（x-）²+，面積最大值為．
此時，x²-2x-3=-2×-3=-，
故F（，-）．
點評：本題是二次函數綜合題，考查了二次函數的性質、圖象、一次函數的性質和圖象，二次函數的最值等，有較大難度．