Question

（2002•益陽）巳知：如圖，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c．點E是AC邊上的一個動點（點E與點A、C不重合），點F是AB邊上的一個動點（點F與點A、B不重合），連接EF．
（1）當a、b滿足a²+b²-16a-12b+100=0，且c是不等式組的最大整數解時，試說明△ABC的形狀；
（2）在（1）的條件得到滿足的△ABC中，若EF平分△ABC的周長，設AE=x，y表示△AEF的面積，試寫出y關于x的函數關系式；
（3）在（1）的條件得到滿足的△ABC中，是否存在線段EF，將△ABC的周長和面積同時平分？若存在，則求出AE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把a²+b²-16a-12b+100=0，整理為完全平方形式，得到a、b的值；求出后面的c的值，進而判斷三角形的形狀
（2）E、F平分周長，可得AE+AF的和，想表示出△AEF的面積，需利用三角函數求出AE邊上的高．
（3）在（2）的條件讓△AEF的面積等于原三角形的面積達一半即可．
解答：解：（1）∵a²+b²-16a-12b+100=0，
∴（a-8）²+（b-6）²=0．
∴a=8，b=6．
∵，
解得-4≤x＜11．
∵c是不等式組的最大整數解，
∴c=10．
∵a²+b²=c²
∴△ABC是直角三角形．

（2）∵EF平分△ABC的周長，
∴AE+AF=12．
∴AF=12-x．（2＜x＜6）
∵sinA=0.8，
∴DF=0.8×（12-2x）．
∴△AEF的面積=×AE×DF=-0.4x²+4.8x．（2＜x＜6）

（3）易得△ABC的面積為24，
∴-0.4x²+4.8x=12．
解得 x=6+，或x=6-，
∵2＜x＜6，
∴x=6-．
點評：本題主要應用了勾股定理的逆定理判斷出是直角三角形；注意利用三角函數來求所需線段的長度．