Question

如圖，D、E、F分別為等邊△ABC中邊BC、AC、AB的中點，M是BC邊上一動點（不與D點重合）．△EMG是等邊三角形，連接CG、DG．下列結論：①S_{四邊形AFME}=S_△ABC； ②△FBM∽△MCG；③CG∥AB； ④DG=FM．其中結論正確的是（ ）

A．只有③④
B．只有①②④
C．只有①③④
D．①②③④

Answer 1

【答案】分析：首先連接EF，DE，DF，由D、E、F分別為等邊△ABC中邊BC、AC、AB的中點，根據三角形中位線的性質，可得S_{四邊形AFDE}=S_△ABC，又由△DEF與△MEF等高等底，故S_△DEF=S_△MEF，即可得：①S_{四邊形AFME}=S_△ABC；易證得△EDC是等邊三角形，然后可得△MED≌△GEC，即可判定∠BCG=∠ABC=60°，即可得CG∥AB；又由△FDM≌△DCG，可得DG=FM．
解答：解：連接EF，DE，DF，
∵D、E、F分別為等邊△ABC中邊BC、AC、AB的中點，
∴EF∥BC，DE∥AB，DF∥AC，EF=BC，
∴△AEF∽△ACB，△EFD∽△BCA，
∴，，
∴S_{四邊形AFDE}=S_△ABC，
∵S_△DEF=S_△MEF，
∴S_{四邊形AFME}=S_△ABC；故①正確；
∵△ABC與△EMG是等邊三角形，
∴∠ECD=60°，EM=EG，AB=AC，
∴DE=EC=AC，
∴△EDC是等邊三角形，
∴∠DEC=60°，
∴∠MED+∠DEG=∠DEG+∠GEC=60°，
∴∠MED=∠GEC，
在△MED和△GEC中，
∵，
∴△MED≌△GEC（SAS），
∴∠ECG=∠EDG=180°-∠EDC=120°，
∵∠ACB=60°，
∴∠BCG=∠ABC=60°，
∴CG∥AB；故③正確；
∵∠B=∠MCG=60°，
而∠BFM不一定等于∠CMG，
∴△FBM與△MCG不一定相似；故②錯誤；
∵△MED≌△GEC，
∴DM=GC，
∵DF∥AC，
∴∠FDM=∠ACB=60°，
∵CD=DE=DF，
在△FDM和△DCG中，
∵，
∴△FDM≌△DCG（SAS），
∴DG=FM；故④正確．
故選C．
點評：此題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、三角形中位線的性質以及相似三角形的判定．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是掌握數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．