Question

已知拋物線y=ax²+bx+c經過A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點，直線l是拋物線的對稱軸．
（1）求拋物線的函數關系式；
（2）設點P是直線l上的一個動點，當△PAC的周長最小時，求點P的坐標；
（3）在直線l上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接將A、B、C三點坐標代入拋物線的解析式中求出待定系數即可．
（2）由圖知：A、B點關于拋物線的對稱軸對稱，那么根據拋物線的對稱性以及兩點之間線段最短可知：若連接BC，那么BC與直線l的交點即為符合條件的P點．
（3）由于△MAC的腰和底沒有明確，因此要分三種情況來討論：①MA=AC、②MA=MC、②AC=MC；可先設出M點的坐標，然后用M點縱坐標表示△MAC的三邊長，再按上面的三種情況列式求解．
解答：解：（1）將A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入拋物線y=ax²+bx+c中，得：
，
解得：
∴拋物線的解析式：y=-x²+2x+3．

（2）連接BC，直線BC與直線l的交點為P；
∵點A、B關于直線l對稱，
∴PA=PB，
∴BC=PC+PB=PC+PA
設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），將B（3，0），C（0，3）代入上式，得：
，解得：
∴直線BC的函數關系式y=-x+3；
當x=1時，y=2，即P的坐標（1，2）．

（3）拋物線的對稱軸為：x=-=1，設M（1，m），已知A（-1，0）、C（0，3），則：
MA²=m²+4，MC²=（3-m）²+1=m²-6m+10，AC²=10；
①若MA=MC，則MA²=MC²，得：
m²+4=m²-6m+10，得：m=1；
②若MA=AC，則MA²=AC²，得：
m²+4=10，得：m=±；
③若MC=AC，則MC²=AC²，得：
m²-6m+10=10，得：m₁=0，m₂=6；
當m=6時，M、A、C三點共線，構不成三角形，不合題意，故舍去；
綜上可知，符合條件的M點，且坐標為 M（1，）（1，-）（1，1）（1，0）．
點評：該二次函數綜合題涉及了拋物線的性質及解析式的確定、等腰三角形的判定等知識，在判定等腰三角形時，一定要根據不同的腰和底分類進行討論，以免漏解．