Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸、y軸分別交于點B、C；拋物線y=-x²+bx+c經過B、C兩點，并與x軸交于另一點A．
（1）求該拋物線所對應的函數關系式；
（2）設P（x，y）是在第一象限內該拋物線上的一個動點，過點P作直線l⊥x軸于點M，交直線BC于點N．
①試問：線段PN的長度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時x的值；若不存在，請說明理由；
②當x=______時，P、C、O、N四點能圍成平行四邊形．
（3）連接PC，在（2）的條件下，解答下列問題：
①請用含x的式子表示線段BN的長度：BN=______；
②若PC⊥BC，試求出此時點M的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用一次函數求出點B、C的坐標，然后利用待定系數發求解二次函數解析式即可；
（2）①根據二次函數解析式設出點P的坐標，根據直線BC解析式設出點N的坐標，然后根據PN=PM-NM，可得出PN的表達式，利用配方法可求出最大值．
②根據PN∥OC，可得出要使PCON圍成平行四邊形，則PN=CO，結合①PN的表達式可建立方程，解出即可得出答案．
（3）①根據△BNM∽△BCO，利用相似三角形的對應邊成比例可得出BN的關于x的表達式；
②先判斷出△PCN∽△BOC，然后利用利用對應邊成比例可得出方程，解出即可得出x的值，也可確定點M的坐標．
解答：解：（1）由于直線經過B、C兩點，令y=0得x=4；令x=0，得y=3，
故可得：B（4，0），C（0，3），
∵點B、C在拋物線y=-x²+bx+c上，于是得，
解得：b=，c=3，
∴所求函數關系式為．

（2）①∵點P（x，y）在拋物線上，且PN⊥x軸，
∴設點P的坐標為（x，）同理可設點N的坐標為（x，），
又∵點P在第一象限，
∴PN=PM-NM=（）-（）=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴當x=2時，
線段PN的長度的最大值為4．
②因為PN∥CO，要使PCON圍成平行四邊形，則PN=CO，
由①得：PN=-x²+4x，故可得：-x²+4x=3，
解得：x=1或3．

（3）①∵△BNM∽△BCO，
∴=，即=，
解得：BN=．
②由PC⊥BC得∠PCN=∠COB=90°，
又∵∠PNC=∠OCB（由PN∥OC得出），
∴△PCN∽△BOC，
∴=，即=，
解得：x=或x=0（舍去），
故此時點M的坐標為（，0）．
點評：此題屬于二次函數的綜合題目，涉及了相似三角形的判定與性質、平行四邊形的性質，解答本題需要我們熟練各個知識點的內容，認真探究題目，謹慎作答．