Question

如圖,已知二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象的頂點為M（2,1）,且過點N（3,2）．

（1）求這個二次函數的關系式;

（2）若一次函數y＝－x－4的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點B,P為拋物線上的一個動點,過點P作PQ∥y軸交直線AB于點Q,以PQ為直徑作圓交直線AB于點D．設點P的橫坐標為n,問:當n為何值時,線段DQ的長取得最小值？最小值為多少？

 

Answer 1

【答案】

（1）這個二次函數的關系式為y＝(x－2)2＋1;（2）當n＝時,DQ取得最小值,為．

【解析】

試題分析:（1）由于頂點為M（2,1）,故設這個二次函數的關系式為y＝a(x－2)2＋1,又因為過點N（3,2）,代入解析式即可求出a的值,從而得到解析式;

（2）用含有n 得代數式表示出P,Q坐標,求出PQ最小值,再證得△DPQ∽△OAB,根據相似三角形性質即可求得DQ的最小值．

試題解析:（1）設這個二次函數的關系式為y＝a(x－2)2＋1．

把x＝3,y＝2代入得a＋1＝2,∴a＝1．

∴這個二次函數的關系式為y＝(x－2)2＋1．

（2）由題意知P（n,n2－4n＋5）,Q（n,－n－4）．

∴PQ＝n2－4n＋5－(－n－4)＝n2－n＋9＝(n－)2＋．?

∴當n＝時,PQ取得最小值,為．

易證△DPQ∽△OAB,

∴,

∵一次函數y＝－x－4的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點B,

∴OB=4,OA=3,AB==5

∴DQ＝PQ=．

∴當n＝時,DQ取得最小值,為．

考點:二次函數與一次函數綜合．