Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A（，0），B（3，2），C（0，2）．動點D以每秒1個單位的速度從點O出發沿OC向終點C運動，同時動點E以每秒2個單位的速度從點A出發沿AB向終點B運動．過點E作EF上AB，交BC于點F，連接DA、DF．設運動時間為t秒．
（1）求∠ABC的度數；
（2）當t為何值時，AB∥DF；
（3）設四邊形AEFD的面積為S．①求S關于t的函數關系式；
②若一拋物線y=-x²+mx經過動點E，當S＜2時，求m的取值范圍（寫出答案即可）．

Answer 1

【答案】分析：（1）求∠ABC的度數即求∠BAx的度數，過B作BM⊥x軸于M，則AM=2，BM=2，由此可得出∠BAM即∠ABC的度數．
（2）當AB∥FD時，∠CFD=∠B=30°，可在直角三角形CDF中，用CD的長表示出CF，同理可在直角三角形FEB中，用BE的長表示出BF，然后可根據CF+BF=BC來求出t的值．
（3）①連接DE，根據D、E的速度可知AE=2OD，而AE=2EG，因此OD∥=EG，即四邊形ODEG是矩形，因此DE∥x軸，那么四邊形AEFD的面積可分成三角形ADE和三角形EFD兩部分來求出．兩三角形都以DE為底，兩三角形高的和正好是OC的長，因此四邊形ADEF的面積就等于DE•OC，關鍵是求出DE的長．如果過A作DE的垂線不難得出DE=OA+AE•sin60°，由此可得出S，t的函數關系式．
②已知了S的取值范圍可根據①的函數關系式求出t的取值范圍．在①題已經求得了E點坐標，將其代入拋物線的解析式中，用m表示出t的值，然后根據t的取值范圍即可求出m的取值范圍．
解答：解：（1）過點B作BM⊥x軸于點M
∵C（0，2），B（3，2）
∴BC∥OA
∴∠ABC=∠BAM
∵BM=2，AM=2
∴tan∠BAM=
∴∠ABC=∠BAM=30°．

（2）∵AB∥DF
∴∠CFD=∠CBA=30°
在Rt△DCF中，CD=2-t，∠CFD=30°，
∴CF=（2-t）
∴AB=4，
∴BE=4-2t，∠FBE=30°，
∴BF=
∴（2-t）+=，
∴t=．

（3）①過點E作EG⊥x軸于點G，
則EG=t，OG=+t
∴E（+t，t）
∴DE∥x軸
S=S_△DEF+S_△DEA=DE×CD+DE×OD
=×OC=×（）×2
=+t．
②當S時，
由①可知，S=+t
∴t+＜2，
∴t＜1，
∵t＞0，
∴0＜t＜1，
∵y=-x²+mx，點E（+t，t）在拋物線上，
當t=0時，E（，0），
∴m=，
當t=1時，E（2，），
∴m=，
∴＜m＜．
點評：本題考查了解直角三角形、圖形面積的求法以及二次函數的應用等知識點．綜合性強難度較大．